Zero virgola infiniti 9 è uguale a 1?

Zero virgola infiniti 9 è uguale ad 1.

0,99999999999999….. = 1

Guardando a prima vista questa identità, potrebbe sembrare una banalità, ma, se cominciamo a meditarci un po’ sopra, la nostra mente potrebbe entrare in cortocircuito ….
Il fatto è che la quantità “infiniti 9” è esprimibile a parole, ma non è rappresentabile mentalmente e non si può neanche scrivere su di un foglio di carta e nessuna calcolatrice o computer è in grado di rappresentarla.
L’identità reale è impossibile da scriversi ed anche da pensarsi e allora introduciamo il simbolo (9) per indicare “infiniti 9”, così potremo scrivere la nostra identità:

0,(9) = 1

Adesso possiamo dare una dimostrazione:

La frazione 1/3 (che rappresenta la divisione 1:3) è uguale a zero virgola infiniti 3 (non vi fate ingannare dalla vostra calcolatrice che vi da solo un numero finito di 3 dopo la virgola):

1 / 3 = 0,33333333333333………

Usando la nostra notazione:

1 / 3 = 0,(3)

Moltiplichiamo per 3 primo e secondo membro di questa identità:

3 x (1 / 3) = 3 x 0,(3) [ = 3 x 0,3333333333333…. ]

3 / 3 = 0,(9) [ = 0,99999999999999…. ]

Invertiamo i termini dell’identità (se a = b, sarà anche b = a)

0,(9) = 3 / 3

Ma 3 / 3 indica 3:3 che è uguale ad 1, quindi:

0,(9) = 1

Cioè zero virgola infiniti nove è uguale ad uno.

Esiste anche una dimostrazione algebrica:

Poniamo.

y = 0,(9) [ y = 0,9999999999999…. ]

Moltiplichiamo per 10 primo e secondo membro (ricordiamo che si sposta la virgola di un posto a destra):

10y = 9,(9) [ 10y = 9,9999999999999….]

Abbiamo dunque due identità:

10y = 9,(9)
y = 0,(9)

Sottraiamo la seconda identità dalla prima:

10y – y = 9,(9) – 0,(9)

Ed ecco che, come per incanto, scompaiono gli infiniti 9 !

9y = 9

Dividiamo primo e secondo membro per 9:

9y / 9 = 9 / 9

y = 1

Ma il nostro y valeva 0,(9), per cui, in definitiva:

0,(9) = 1.